說來汗顏, 自從17年三月筆記完 WGAN 後, 就沒再碰 GAN 相關的東西了. 惡補了一下 李宏毅GAN 的課程和其他相關資料, 因此筆記一下.

MMGAN(最原始的GAN), NSGAN(跟MMGAN差別在 G 的 update 目標函式有點不同), f-GAN, WGAN, ADDA (Adversarial Discriminative Domain Adaptation), infoGAN, VAE-GAN 等… 這些全部都是 follow 下面這樣的 framework:

其中 $P_d$ 為 real data pdf, $P_G$ 為 generator 產生的 data pdf. $f^*$ 帶入不同的定義會產生不同的 divergence, 這之後會再說明.

式 (1) 定義了 $P_G$ 與 $P_d$ 的 divergence, 其中這個 divergence 的值為藉由解這個最佳化問題求得的.

式 (2) 表示要找的 $G$ 就是 divergence 最小的那個. Divergence 最小 ($=0$) 同時也表示 $P_G=P_d$ (生成器鍊成). 如果同時考慮 regularization term, $reg(G)$, 則會有很多變化產生, 如 ADDA, infoGAN, VAE-GAN…

我們接著來看 MMGAN, NSGAN, f-GAN, WGAN, ADDA, infoGAN, VAE-GAN 這些怎麼 fit 進這個框架.

整理下 entropy 的一些東西, 不然久沒看老是忘記.

• Entropy of a r.v. $X$: $H(X)$
• Conditional Entropy of $Y$ given $X$: $H(Y|X)$
• Cross(Relative) Entropy of two pdf, $p$ and $q$: $D(p\Vert q)$
• Mutual Information of two r.v.s: $I(X;Y)$

文章會明確定義每一項, 然後在推導它們之間關係的同時會解釋其物理意義.

最後其實就可以整理成類似集合關係的圖 (wiki)

筆記 covariance matrix $R$ 的 determinant 意義以及他的 bound. 這是在讀 Time-delay estimation via linear interpolation and cross correlation 時的 appendix 證明. 覺得有用就筆記下來.

開門見山, $det(R)$ 可以想成 volumn (等於所有 eigenvalues 相乘), 然後 upper bound 就是所有對角項元素相乘.

$\lambda_i$ 是 i-th eingenvalue.

事實上只要 $R$ 是 square matrix, 則 $|det(R)|$ 等於用每個 row vector 做出來的 “平行六面體” 的體積 [ref]

以下筆記論文中證明 $det(R)$ 的 upper bound, 從這個 bound 我們也能看出物理意義.

NN 做分類最後一層通常使用 softmax loss, 但如果類別數量很大會導致計算 softmax 的 cost 太高, 這樣會讓訓練變得很慢. 假如總共的 class 數量是 10000 個, candidate sampling 的想法就是對於一個 input $x$ 採樣出一個 subset (當然需要包含正確的 label), 譬如只用 50 個 classes, 扣掉正確的那個 class, 剩下的 49 個 classes 從 9999 個採樣出來. 然後計算 softmax 只在那 50 個計算. 那麼問題來了, 這樣的採樣方式最終訓練出來的 logits 會是對的嗎? 它與未採樣前 (full set) 的 logtis 有何對應關係?

SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition 使得訓練出來的 embeddings 可以很好的使用 cosine similarity 做 verification/identification. 可以先網路上搜尋一下其他人的筆記和討論, 當然直接看論文最好.
一般來說我們對訓練集的每個人用 classification 的方式訓練出 embeddings, 然後在測試的時候可以對比兩個人的 embeddings 來判斷是否為同一個人. 使用 verification 當例子, 實用上測試的人不會出現在訓練集中, 此情形稱為 openset 設定.

上一篇說明了 time domain 的 adaptive filters, 由於是 sample-by-sample 處理, 因此太慢了不可用, 真正可用的都是基於 frequency domain. 不過在深入之前, 一定要先了解 convolution 在 input 為 block-by-block 的情況下如何加速. 本文內容主要參考 Partitioned convolution algorithms for real-time auralization by Frank Wefers (書的介紹十分詳盡).

Convolution 分類如下:

我們就針對最常使用的情形介紹: Input (UP) and Filter (0).

這是因為實際應用 input 是 infinite length, 所以需要 block-by-block 給定, 而 filter 通常都是 finite length, 可以選擇不 partition, 或 uniformly partitioned 以便得到更低的延遲效果.

針對 block-based input 的 convolution, 我們有兩種架構:

1. OverLap-and-Add (OLA)
2. OverLap-and-Save (OLS)

粗略筆記 time domain adaptive filters, frequency domain adaptive filters 會在下一篇筆記. 應用以 Acoustic Echo Cancellation (AEC) 來說明.

Motivation

直接使用 wiki. AEC 要解決的是如下的情形

這是 far field 筆記系列第四篇, 寫這篇是因為做 CGMM-MVDR 時, 很好奇為何 spatial features 聚類的結果可以對應不同方向的聲源. 因此記錄下自己的一點想法.

假設我們有 $M$ 個麥克風, 則在 stft (short-time fourier transform) 上來說, $\mathbf{f}_{\omega,t}$ 表示一個頻率 $\omega$, 時間 $t$ 的 $M$ 維向量. 對於某一個 $\theta$ 方向的 narrowband 訊號, ideally 我們可以這麼表示

記錄一下單通道降噪的一個經典方法, MMSE-STSA, MMSE-LSA, 已經是 1984 左右的文章了. 單通道降噪 OMLSA 也從這衍生出來的. 我們先從 MMSE-STSA 說起, 全名是 minimum mean-square error short time spectral amplitude.
$y(t)=x(t)+d(t),0\leq t\leq T$
$x$, $d$, $y$ 分別是 speech, noise, 和收到的 noisy signal, 其中 $x$, $d$ 相互獨立. 相對應的第 $k$ 個 frequency bin 如下:
$$X_k=A_k\exp(j\alpha_k) \\ D_k \\ Y_k=R_k\exp(j\theta_k)$$

這是 far field 筆記系列第三篇, 主要為自己學習用, 如有錯誤還請指正. 主要參考 Microphone Array Signal Processing Ch6 和 Speech Processing in Modern Communication: Challenges and Perspectives Ch9.3.4

在 narrow-band 的情形下, Multi-channel Wiener Filter (MWF), maximum SNR (MSNR) 和 Minimum Variance Distortionless Response (MVDR) 三者求出來的 filter 解只差在 norm 大小不同. 但反應在最後的 full-bank 行為仍然不同. 這部分可看書. 本篇主要紀錄 narrow-bank 下三者為何 equivalent. 算是書本的摘要筆記吧.