這是初探最優傳輸 OT (Optimal Transport) 的第三篇, 聊一下應用和 toy example
OT 在 Machine learning 已有許多重要的應用, 例如大名鼎鼎的 “WGAN“ 就使用 EMD (Earth Mover’s Distance) 當 loss 來衡量 generator 產生的分布與目標資料分布兩者間的距離 (JSD 會有 support sets 無交集時的問題, 參考 “WGAN Part 2: 主角 W 登場“ 一文的說明)
還有 flow matching 裡針對一個 batch 可用 OT 找出訓練 conditional probability path 的配對, 這使得訓練更穩定. [筆記連結]
當然在 CV 領域, 已有許多成功的應用, 包含 point cloud mapping, graph 同構/對應, 等等.

更多範例可參考 POT 庫的 Examples gallery 頁面

不過文章前半段想先用另一個例子來說明 OT 的應用: 有關 doubly stochastic matrix (雙隨機矩陣)
再來簡單解釋一下, 求解 EOT 問題用的 Sinkhorn 迭代算法該怎麼計算微分. 如果是可微的 loss, 那自然就能結合到神經網路模型訓練中, 大大提高了可能性.
最後本文會用一個 toy example 展示如何使用 EOT 當 loss, 讓 NN 模型學習從一個初始分布對應到目標分布. 並且也會說明使用 Sinkhorn 演算法的 EOT loss 為什麼可以微分.

這是初探最優傳輸 OT (Optimal Transport) 的第二篇, 聊一下背後的數學理論
接續上一篇引導出 EMD 是什麼以及什麼情況下我們需要 EMD 而非 KL or JSD 距離後, 我們最後說到 EMD 的兩個缺點: 不夠有效率以及無法微分

本篇我們介紹 EOT (Entorpic Optimal Transport)
EOT 將 EMD 問題 relax 後, 雖然只能找到逼近解, 但卻能利用一個更有效率且可微分的 Sinkhorn 演算法來求解.
我們將著重在數學理論部分, 從而理解 EOT 及 Sinkhorn 演算法的本質內涵.
最後再介紹一個重要的變形, Partial OT, 可以不用所有的 “土堆” 都要搬運, 只匹配部分.
[備註]：在離散情況下 Earth Mover’s Distance (EMD) / Optimal Transport / Wasserstein distance 指同一件事情, 文章在不混淆情況下有時會混用

這是初探最優傳輸 OT (Optimal Transport) 的第一篇, 聊一下這是什麼問題以及傳統利用 Linear Programming 的解法

[備註 1]：圖片改自此 jupyter notebook: wasserstein-notebook/Wasserstein_Kantorovich.ipynb
[備註 2]：在離散情況下 Earth Mover’s Distance (EMD) / Optimal Transport / Wasserstein distance 指同一件事情, 文章在不混淆情況下有時會混用

什麼是 Earth Mover’s Distance (EMD) 推土機距離?

Earth Mover’s Distance (EMD) 有一個很形象的描述叫做推土機距離.
想像兩個機率分布 ($P_s$, $P_t$) 是形狀不同的兩個土堆. 將源分布 $P_s$ 改造成目標分布 $P_t$ 所需的最小搬運代價即為 EMD.

DPO 捨棄 RLHF 中笨重的 reward model, 並將 RL 問題直接轉換成對好壞兩個 responses 的 supervised training. [圖片產生自 ChatGPT]

Pre-trained model 經過 SFT (Supervised Fine-Tuning) 再經過 RLHF (Reinforcement Learning from Human Feedback) 的這一套組合拳在 2023 年堪稱顯學
網路上甚至產生了一個很有名的修格斯(Shoggoth)怪物梗圖. (wiki: 形態無定的原生質生物，是克蘇魯神話中最駭人的存在之一)

📔 筆記內容: 赵世钰老師 “强化学习的数学原理” 課程 (也推薦用 Notion版本 來閱讀)
很高興我初次學習 RL 就是透過這門課, 讓我扎實理解其背後的數學和邏輯
老實說 RL 方法很多很雜, 套句趙老師的話, RL 數學很深, 結構性又很強, 一環扣一環
如果沒有這堂課這樣循序剖析和從數學出發解釋的話, 我自己應該很難入門, 謝謝這門課的赵世钰老師! 🙏🏻

本篇筆記方式盡量濃縮, 而每個章節更詳細的筆記參考:
 $\circ$ RL(1): Fundamentals of Reinforcement Learning
 $\circ$ RL(2): Sample-based Learning Methods
 $\circ$ RL(3): Prediction and Control with Function Approximation

此篇文章為 IndexTTS2 論文 (arxiv, 官網, Github) 的筆記, 內容幾乎都是 AI 產出的, 而且也確實整理的很棒

LLM 的進步已經從根本上改變我讀論文的方式了

現在我都是想像有一個學生 (AI) 開始跟我報告, 先請他講論文的 whole (high-level) picture, 然後開始一點一點對話式的挖掘
整個過程絲滑舒服, 想聽什麼論文的報告隨時都可以, 想詢問多深入都可以, 也不用擔心學生報告整理太爛或沒準備好 😛

閱讀體驗正式進入 “Vibe Reading” 時代 … 😃

⚠️ 以下內容幾乎為 AI 口吻, 我依照結構整理起來而已(自己看的), 吃不下 AI 文的讀者請見諒左轉

⚠️ [提醒]: 本篇難度可能偏高, 有些地方不會從頭開始解釋, 畢竟主要給自己筆記的, 請讀者見諒.

筆記動機是由於之前陸陸續續讀過 (連結為之前的筆記們):

• [Score matching]: Langevin dynamics 可以使用 score function ($\nabla\log p_{data}$) 來取 sample, 取出來的 sample 具有 $p_{data}$ 的分佈 (由 Fokker-Planck Equation 的定理可證). 因此我們要做的就是訓練一個 NN $s^\theta(x)\approx \nabla\log p_{data}(x)$, 這樣就能在 Langevin dynamics 中使用 $s^\theta$ 來對 $p_{data}$ 採樣了
• [Denoised diffusion model]: 訓練出能去噪 (denoise) 的 NN model (加高斯噪聲的過程稱 forward process, 去噪稱 backward). 由於無法直接做 MLE (Maximal Likelihood), 因此訓練目標函式改為優化 MLE 的 lower bound, 稱 ELBO (Evidence Lower Bound). 藉由訓練出的 denoised model, 一步一步還原乾淨資料.
• [Flow matching]: 從已知且容易採樣的 $p_{init}$ 採樣出初始 sample $x_0$, 根據學到的 vector field $u_t^\theta$ 來更新 trajectory $\{x_t\}_{0\leq t\leq1}$, 最終達到的 $x_1$ 滿足資料分布 $p_{data}$. 如何設計並訓練這樣的 vector field $u_t^\theta$ 可說是非常精彩, 也會用到物理中的 Continuity Equation (質量守恆).

我心理總認為這些東西應該有非常深刻的關聯 🤔, 但就是缺乏一個統一的框架來把這些觀念融合起來.

直到我看到 MIT 這門課程: Introduction to Flow Matching and Diffusion Models 的一些內容. (👍🏻 大推! 👍🏻)
簡直醍醐灌頂, 因此想筆記下來這個統一的框架. 正文開始

是的! 我們徵求工作夥伴! (深度學習算法開發單位, 新竹縣竹北市, 地址: 🗺️)

公司是意騰科技 intelliGo 成立於2016年, 一家專精於語音AI領域的公司, 並於 2025 年台股上市 (代號: 7749). 已有許多 AI 語音的解決方案, 一個代表例子為應用於 🎮 Switch2 GameChat 的方案 [新聞].
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 $\circ$ 專案上: 能從客戶角度思考什麼才是成功的應用 (有時候複雜厲害的作法不一定打到客戶痛點)
加入我們能完整經歷從 AI 模型的誕生到部署, 再到客戶回饋打磨的完整 loop 過程.
詳細 Job Descriptions 如下 (別害怕別猶豫, 就是你/妳了!)

Computational graph 相當於 NN 的一種 IR (intermediate representation) 表達方式.
在 PyTorch 的 nn.Module 裡通常由 user 來定義 forward 函式藉此來表達這些 ops 怎麼關聯何其執行順序.
但在 torch.fx 把 NN 改由 Graph 來定義該怎麼 forward. 精確來說, 一個 GraphModule 包含了原本的 nn.Module 之外, 還包含了一個 Graph 物件, 並且Module 裡的 forward 函式改成由 Graph 物件來 ”自動生成”.
這樣做有許多好處, 例如可以自由地對 Graph 修改後, 再重新產生 forward. 更多請參考官方文件說明.

例如一些操作範例: [Replace one op], [Conv/Batch Norm fusion], [replace_pattern: Basic usage], [Quantization], [Invert Transformation]

當我在看 Replace one op 的時候, codes 雖然非常短, 但其實我產生了很多底層 graph 操作的疑問.
因此仔細對照 source codes 理解後特別紀錄一下.
相信對 Graph, Node, 和底層 fx 怎麼運作會有初步比較好的理解.

我們在看一些 attention 有時會看到會將 key 和 value ($K,V$) 各自 padding 一個 zero vector 的 token embedding. 如下圖所示 初次看到可能會很疑惑, 為啥要多 padding zero vectors? 本文就來解釋一下原因.
但首先故事要先回到 Transformer 本身
以下一些投影片內容取自 Song Han 課程投影片