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這是 MIT SongHan 教授實驗室的論文, 使用 PTQ 對 LLM 做到 W8A8 的量化, 由於 activations 會有比較大的 outliers 導致 quantization 後損失較大, 而一般 weights 的 outliers 很少, 因此透過一些等價的轉換將 activations 的 scale 縮小並放大 weights 的 scale, 使得 activations 變的較容易 quant 而 weights 仍然容易 quant. 如論文的圖顯示:

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總歸來說 Data-Free Quantization (DFQ) 的目的是讓 floating model 做 weights 各種調整, 使得不管是 weights or activations 都變得適合 per tensor 量化.這樣理想上就不需用到 per channel 量化, 因為 per channel 雖然效果很好, 但硬體比較不友善, 且花的運算量較高. 另外 DFQ 屬於 Post-Training Quantization (PTQ) 方法. PTQ 對佈署到 edge 端很方便, 但一般來說 PTQ 都不如 Quantization-Aware Training (QAT) 的效果好, 因此 DFQ 嘗試提升效果.

DFQ 共四步, 對照圖看, 需照順序:

  1. Cross-Layer Equalization (CLE): 輸入 fused BN 後的 float model $M_f^1$, floating 操作對 weights 做調整使得更均衡方便 per tensor 量化, 為 step 3 的前置作業, 輸出仍為 float model $M_f^2$.
  2. Bias Absorption (BA): 輸入 CLE 後的 float model $M_f^2$, floating 操作對 activations 做調整使得更均衡方便 per tensor 量化, 為 step 3 的前置作業, 輸出仍為 float model $M_f^3$.
  3. PTQ 量化: 輸入 CLE+BA 後的 float model $M_f^3$, 此時不管 weights or activations 都適合做 per-tensor 量化了, 所以直接 PTQ 輸出 int model $M_i^1$.
  4. Bias Correction (BC): 輸入 float model $M_f^1$ 和 step 3 的 $M_i^1$, 並且(option)給一些 unlabeled 的代表 data, BC 會對 $M_i^1$ 的 bias 參數補償因為量化造成的數值 mean 偏移, 輸出為最終 fixed point model $M_i^2$.

Qualcomm AI Lab 的 tool AIMET 說 BC 這一步驟可以用 AdaRound (需要一小部分的 unlabelled training data) 取代

其實認真看完論文, 覺得限制有點多啊! 很多時候不能套 CLE, 有時 BA 也用不了. 把限制條列一下:

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上一篇文章我們提到, uniformly constrained quantizer 有這樣的 quantization error:
$$\begin{align} J=s_{\text max}^2{4^{-B}\over 3} \end{align}$$ 其中 $s_{\text {max}}$ 表示 input $x$ 在 $[-s_{\text {max}}, s_{\text {max}}]$之間.
這麼做雖然能確保所有 $x$ 都不會發生 clipping error, 但如果有一些 outlier 則會使得 quantization step 變很大 (quantization resolution 變低), 因此 quantization 的離散化誤差 (discretization error) 變大.

Quantization error = (Discretization error) + (Clipping error)

舉例來說, 考慮下圖 (ref. from SongHan course EfficientML.ai Lecture 6):

上圖左是 clipping scalar 設定很大, 上圖右則是設定很小. 可以看見 discretization error 跟 clipping error 互為 trade-off.

那麼問題來了, 怎麼設定 clipping scalar, 才會使得整體的 quantization error 最小?
這篇文章 “Optimal Clipping and Magnitude-aware Differentiation for Improved Quantization-aware Training” [arxiv] 給出了理論值, 並使用 Newton’s method 幫助我們很快找到最佳解.

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我在閱讀這篇論文: “Optimal Clipping and Magnitude-aware Differentiation for Improved Quantization-aware Training” [arxiv] 的時候, 看到這個式子說明 uniform constrained quantizer 有這樣的 quantization error:
$$\begin{align} J=s_{\text max}^2{4^{-B}\over 3} \end{align}$$ 當下看得我一頭霧水, 後來查了資料才了解這個 quantization error 的推導, 因此筆記一下. [來源1], [來源2]

這裡要特別說明一下, 這邊的 quantization error 沒有考慮超過最大最小值造成的 clipping error. 將 clipping error 一起考慮是開頭說的那篇論文會探討的情況.

這樣的 quantization error 分析在傳統訊號處理可以看到, 例如 analog 訊號經過 ADC 變成 digital 訊號後會有 quantization 損失. 如果 quantization bit 增加 1 bit 則 SNR 增加約 6dB. 又如果採用 nonlinear quantization 則對音量較低的情況其 SNR 提昇會比 linear quantization 好. Nonlinear quantization 又分 $\mu$-law (北美 and 日本) 和 A-law (歐洲 and 其他). 這些內容在下面的筆記都會解釋. Let’s go~

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本文是這篇論文 “LoRAPrune: Pruning Meets Low-Rank Parameter-Efficient Fine-Tuning [arxiv]” 的筆記.

一般來說使用 first-order Taylor importance 的 pruning 方法 (下面會介紹此法) 需計算 gradients 來對每個 weight 計算重要性, 然後根據重要性剪枝. 但是現在模型已經愈來愈大, 對所有 weights 都須計算 gradient 的負擔太大.

另一方面, 在 LLM 中對於大模型的 fine tuning 使用 LoRA (PEFT, Parameter Efficient Fine Tuning, 的一種) 來計算 gradients 非常有效率, 原因是對原來的 weights 是 fixed 的, 只 train LoRA 外掛的”少量”參數, 因此只有少量的 gradients 需要計算. 不過我們思考一下, 如果要對已經 prune 的 weights 旁邊外掛 LoRA 的話, LoRA train 完後沒辦法 merge 回去原來的 weights, 因為有可能打亂原本要 prune 的位置. 但是反過來說, 如果先用 LoRA fine tune 完才進行剪枝, 又回到當模型太大而負擔太大沒效率的問題. 況且這樣分兩步驟可能不是很直接, 如果能在 LoRA fine tune 時就能一併考慮某些 weights 會被 prune 的情況下去 fine tune 可能會更好.

如何 pruning 原來的參數又能利用上 LoRA 的效率就是此篇論文的工作.

$$\begin{array}{|c |c |c |} \hline & 能否對原來的參數做剪枝? & 是否很有效率? \\ \hline \text{1st order pruning} & \text{Yes} & \text{No} \\ \hline \text{LoRA} & \text{No} & \text{Yes} \\ \hline \text{LoRAPrune} & \text{Yes} & \text{Yes} \\ \hline \end{array}$$

以下會先介紹 first-order Taylor importance 的 pruning 方法, 再來介紹 LoRA, 最後說明如何取兩者之優點得出此篇的方法: LoRAPrune

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先引用這篇論文的論點 Train Large, Then Compress: Rethinking Model Size for Efficient Training and Inference of Transformers [pdf]

同樣的小 model size, 從頭訓練還不如先用大的 model size 做出好效果, 再壓縮到需要的大小
所以 pruning 不僅能壓小 model size, 同樣對 performance 可能也是個好策略

Introduction

使用單純的 absolutely magnitude pruning 對於在 SSL model 不好. 因為原來的 weight 是對 SSL 的 loss 計算的, 並不能保證後來的 fine tune (down stream task loss) 有一樣的重要性關聯.
例如傳統上的 magnitude pruning 作法, 如這一篇 2015 NIPS 文章 [Learning both Weights and Connections for Efficient Neural Networks] (cited 5xxx) 作法很簡單:
 先對 model train 到收斂, 然後 prune, 接著繼續訓練 (prune 的 weight 就 fix 為 $0$), 然侯再多 prune … iterative 下去到需要的 prune 數量
但作者認為, 只靠 magnitude 大小判斷效果不好, 因為在 fine tune 過程中, 如果某一個 weight 雖然 magnitude 很大, 但 gradient update 後傾向把 magnitude 變小, 就表示它重要性應該降低才對, 這是本篇的精華思想

因此我們先定義重要性就是代表 weight 的 magnitude 會變大還是變小, 變大就是重要性大, 反之

因此作者對每一個參數都引入一個 score, 命為 $S$, 希望能代表 weight 的重要性. 而在 fine-tune 的過程, 除了對 weight $W$ update 之外, score $S$ 也會 update
如果 score $S$ 正好能反映 weight 的 gradient 傾向, 即 $S$ 愈大剛好表示該對應的 weight 在 fine-tune 過程會傾向讓 magnitude 變大, 反之亦然, 那這樣的 $S$ 正好就是我們要找的.

要這麼做的話, 我們還需要回答兩個問題:

  1. 怎麼引入 score $S$?
  2. Score $S$ 正好能代表重要性? 換句話說能反映 weight 在 fine tune 過程的 magnitude 傾向嗎?
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這是一篇論文Learning Sparse Neural Networks through L0 Regularization 的詳細筆記, 同時自己實作做實驗 [My Github]
主要以詳解每個部分並自己能回憶起為目的, 所以或許不是很好閱讀

Introduction

NN model 參數 $\theta$, 我們希望非$0$的個數愈少愈好, i.e. $|\theta|_0$ 愈小愈好, 所以會加如下的 regularization term:
$$\mathcal{L}_C^0(\theta)=\|\theta\|_0=\sum_{j=1}^{|\theta|}\mathbb{I}[\theta_j\neq0]$$ 所以 Loss 為:

$$\mathcal{L}_E(\theta)=\frac{1}{N}\left( \sum_{i=1}^N\mathcal{L}(NN(x_i;\theta),y_i) \right) \\ \mathcal{L}(\theta)=\mathcal{L}_E(\theta)+\mathcal{L}_C^0(\theta)$$

但實務上我們怎麼實現 $\theta$ 非 $0$ 呢?
一種方式為使用一個 mask random variable $Z=\{Z_1,...,Z_{|\theta|}\}$ (~Bernoulli distribution, 參數 $q=\{q_1,...,q_{|\theta|}\}$), 因此 Loss 改寫如下: (注意到 $\mathcal{L}_C^0$ 可以有 closed form 並且與 $\theta$ 無關了)

$$\begin{align} \mathcal{L}_C^0(\theta, q)=\mathbb{E}_{Z\sim\text{Bernoulli}(q)}\left[ \sum_{j=1}^{|\theta|}\mathbb{I}[\theta_j\odot Z_j\neq0] \right] = \mathbb{E}_{Z\sim\text{Bernoulli}(q)}\left[ \sum_{j=1}^{|\theta|} Z_j \right] = \sum_j^{|\theta|} q_j\\ \mathcal{L}_E(\theta,q)=\mathbb{E}_{Z\sim\text{Bernoulli}(q)}\left[ \frac{1}{N}\left( \sum_{i=1}^N\mathcal{L}(NN(x_i;\theta\odot Z_i),y_i) \right) \right] \\ \mathcal{L}(\theta,q)=\mathcal{L}_E(\theta,q)+\lambda\mathcal{L}_C^0(q) \end{align}$$

現在最大的麻煩是 entropy loss $\mathcal{L}_E$, 原因是 Bernoulli 採樣沒辦法對 $q$ 微分, 因為 $\nabla_q\mathcal{L}_E(\theta,q)$ 在計算期望值時, 採樣的機率分佈也跟 $q$ 有關

參考 Gumbel-Max Trick 開頭的介紹說明

好消息是, 可以藉由 reparameterization (Gumbel Softmax) 方法使得採樣從一個與 $q$ 無關的 r.v. 採樣 (所以可以微分了), 因此也就能在 NN 訓練使用 backpropagation.
以下依序說明: (參考這篇 [L0 norm稀疏性: hard concrete门变量] 整理的順序, 但補足一些內容以及參考論文的東西)
Gumbel max trick $\Rightarrow$ Gumbel softmax trick (so called concrete distribution)
$\Rightarrow$ Binary Concrete distribution $\Rightarrow$ Hard (Binary) Concrete distribution $\Rightarrow$ L0 regularization
最後補上對 GoogleNet 架構加上 $L0$ regularization 在 CIFAR10 上的模型壓縮實驗

文長…

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在上一篇 搞懂 Quantization Aware Training 中的 Fake Quantization 我們討論了 fake quantization 以及 QAT
提到了 observer 負責計算 zero point and scale $(z,s)$, 一般來說只需要透過統計觀測值的 min/max 範圍就能給定, 所以也不需要參與 backward 計算

直觀上我們希望找到的 zero/scale 使得 quantization error 盡量小, 但其實如果能對任務的 loss 優化, 應該才是最佳的
這就必須讓 $(z,s)$ 參與到 backward 的計算, 這種可以計算 gradient 並更新的做法稱為 learnable quantization parameters

本文主要參考這兩篇論文:
 1. LSQ: Learned Step Size Quantization
 2. LSQ+: Improving low-bit quantization through learnable offsets and better initialization

LSQ 只討論 updating scale, 而 LSQ+ 擴展到 zero point 也能學習, 本文只推導關鍵的 gradients 不說明論文裡的實驗結果

很快定義一下 notations:
 - $v$: full precision input value
 - $s$: quantizer step size (scale)
 - $z$: zero point (offset)
 - $Q_P,Q_N$: the number of positive and negative quantization levels
  e.g.: for $b$ bits, unsigned $Q_N=0,Q_P=2^b-1$, for signed $Q_N=2^{b-1},Q_P=2^{b-1}-1$
 - $\lfloor x \rceil$: round $x$ to nearest integer
將 $v$ quantize 到 $\bar{v}$ (1), 再將 $\bar{v}$ dequantize 回 $\hat{v}$ (2), 而 $v-\hat{v}$ 就是 precision loss
$$\begin{align} \bar{v}={clip(\lfloor v/s \rceil+z,-Q_N,Q_P)} \\ \hat{v}=(\bar{v}-z)\times s\\ \end{align}$$

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看完本文會知道什麼是 fake quantization 以及跟 QAT (Quantization Aware Training) 的關聯
同時了解 pytorch 的 torch.ao.quantization.fake_quantize.FakeQuantize 這個 class 做了什麼

Fake quantization 是什麼?

我們知道給定 zero ($z$) and scale ($s$) 情況下, float 數值 $r$ 和 integer 數值 $q$ 的關係如下:

$$\begin{align} r=s(q-z) \\ q=\text{round_to_int}(r/s)+z \end{align}$$ 其中 $s$ 為 scale value 也是 float, 而 $z$ 為 zero point 也是 integer, 例如 int8
Fake quantization 主要概念就是用 256 個 float 點 (e.g. 用 int8) 來表示所有 float values, 因此一個 float value 就使用256點中最近的一點 float 來替換
則原來的 floating training 流程都不用變, 同時也能模擬因為 quantization 造成的精度損失, 這種訓練方式稱做 Quantization Aware Training (QAT) (See Quantization 的那些事)
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使用 SGD 做優化時, 如果 ill-conditioned of Hessian matrix, i.e. $\sigma_1/\sigma_n$ 最大最小的 eigenvalues 之比值, 會使得收斂效率不彰
(ref zig-zag).

可以想成 loss function 的曲面愈不像正圓則愈 ill-conditioned (愈扁平).

希望藉由 re-parameterization 來將 ill-conditioned 狀況降低.
一般來說 NN 的 layer 可以這麼寫:
$$y=\phi(w^Tx+b)$$ 把 weight vector $w$ 重新改寫如下:

$$w={g\over\|v\|}v\quad\quad(\star)$$ WN 就是將 $w$ 拆成用 unit vector $v/||v||$ 和 magnitude $g$ 兩個 variables 來表示

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